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1.4.3 正切函數的性質與圖象 整體設計

[日期:2017/2/7 9:32:00] 閱讀:4498

教學分析

    本節課的背景是:這之前我們已經用了三節課的時間學習了正弦函數和余弦函數的性質.函數的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般來說,對函數性質的研究總是先作圖象,通過觀察圖象獲得對函數性質的直觀認識,然后再從代數的角度對性質作出嚴格表述.但對正切函數,教科書換了一個新的角度,采取了先根據已有的知識(如正切函數的定義、誘導公式、正切線等)研究性質,然后再根據性質研究正切函數的圖象.這樣處理,主要是為了給學生提供研究數學問題更多的視角,在性質的指導下可以更加有效地作圖、研究圖象,加強了理性思考的成分,并使數形結合的思想體現得更加全面.教師要在學生探究活動過程中引導學生體會這種解決問題的方法.

    通過多媒體教學,讓學生通過對圖象的動態觀察,對知識點的理解更加直觀、形象.以提高學生的學習興趣,提高課題教學質量.從學生的實際情況為教學出發點,通過各種數學思想的滲透,合理運用各種教學課件,逐步培養學生養成學會通過對圖象的觀察來整理相應的知識點的能力,學會運用數學思想解決實際問題的能力.這樣既加強了類比這一重要數學思想的培養,也有利于學生綜合運用能力的提高,有利于學生把新舊知識前后聯系,融會貫通,提高教學效果.

由于學生已經有了研究正弦函數、余弦函數的圖象與性質的經驗,這種經驗完全可以遷移到對正切函數性質的研究中,因此,我們可以通過探究提出,引導學生根據前面的經驗研究正切函數的性質,讓學生深刻領悟這種遷移與類比的學習方法.

三維目標

1.通過對正切函數的性質的研究,注重培養學生類比思想的養成,以及培養學生綜合運用新舊知識的能力.學會通過對圖象的觀察來整理相應的知識點,學會運用數學思想解決實際問題的能力.

2.在學習了正弦函數、余弦函數的圖象與性質的基礎上,運用類比的方法,學習正切函數的圖象與性質,從而培養學生的類比思維能力.

3.通過正切函數圖象的教學,培養學生欣賞(中心)對稱美的能力,激發學生熱愛科學、努力學好數學的信心.

重點難點

教學重點:正切函數的性質與圖象的簡單應用.

教學難點:正切函數性質的深刻理解及其簡單應用.

課時安排

1課時

教學過程

導入新課

    思路1.(直接導入)常見的三角函數還有正切函數,前面我們研究了正、余弦函數的圖象和性質,你能否根據研究正弦函數、余弦函數的圖象與性質的經驗,以同樣的方法研究正切函數的圖象與性質?由此展開新課.

    思路2.先由圖象開始,讓學生先畫正切線,然后類比正弦、余弦函數的幾何作圖法來畫出正切函數的圖象.這也是一種不錯的選擇,這是傳統的導入法.

推進新課

新知探究

提出問題

我們通過畫正弦、余弦函數圖象探究了正弦、余弦函數的性質.正切函數是我們高中要學習的最后一個基本初等函數.你能運用類比的方法先探究出正切函數的性質嗎?都研究函數的哪幾個方面的性質?

我們學習了正弦線、余弦線、正切線.你能畫出四個象限的正切線嗎?

我們知道作周期函數的圖象一般是先作出長度為一個周期的區間上的圖象,然后向左、右擴展,這樣就可以得到它在整個定義域上的圖象.那么我們先選哪一個區間來研究正切函數呢?為什么?

我們用五點法能簡捷地畫出正弦、余弦函數的簡圖,你能畫出正切函數的簡圖嗎?

你能類比五點法也用幾個字總結出作正切簡圖的方法嗎?

    活動:問題,教師先引導學生回憶:正弦、余弦函數的性質是從定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性這幾個方面來研究的,有了這些知識準備,然后點撥學生也從這幾個方面來探究正切函數的性質.由于還沒有作出正切函數圖象,教師指導學生充分利用正切線的直觀性.

(1)周期性

由誘導公式

tan(x+π)=tanx,xR,x≠+kπ,kZ

    可知,正切函數是周期函數,周期是π.

    這里可通過多媒體課件演示,讓學生觀察由角的變化引起正切線的變化的周期性,直觀理解正切函數的周期性,后面的正切函數圖象作出以后,還可從圖象上觀察正切函數的這一周期性.

(2)奇偶性

由誘導公式

tan(-x)=-tanx,xR,x≠+kπ,kZ

    可知,正切函數是奇函數,所以它的圖象關于原點對稱.教師可進一步引導學生通過圖象還能發現對稱點嗎?與正余弦函數相對照,學生會發現正切函數也是中心對稱函數,它的對稱中心是(,0)kZ.

(3)單調性

    通過多媒體課件演示,由正切線的變化規律可以得出,正切函數在(,)內是增函數,又由正切函數的周期性可知,正切函數在開區間(+kπ,+kπ),kZ內都是增函數.

(4)定義域

    根據正切函數的定義tanα=,顯然,當角α的終邊落在y軸上任意一點時,都有x=0,這時正切函數是沒有意義的;又因為終邊落在y軸上的所有角可表示為kπ+,kZ,所以正切函數的定義域是{α|α≠kπ+,kZ},而不是{α≠+2kπ,kZ},這個問題不少初學者很不理解,在解題時又很容易出錯,教師應提醒學生注意這點,深刻明了其內涵本質.

(5)值域

    由多媒體課件演示正切線的變化規律,從正切線知,x大于且無限接近,正切線ATOy軸的負方向無限延伸;x小于且無限接近,正切線ATOy軸的正方向無限延伸.因此,tanx(,)內可以取任意實數,但沒有最大值、最小值.

因此,正切函數的值域是實數集R.

問題,教師引導學生作出正切線,并觀察它的變化規律,如圖1.

1

    問題,正切函數圖象選用哪個區間作為代表區間更加自然呢?教師引導學生在課堂上展開充分討論,這也體現了教師為主導,學生為主體的新課改理念.有的學生可能選取了[0,π]作為正切函數的周期選取,這正是學生作圖的真實性的體現.此時,教師應調整計劃,把課件中先作出[-,]內的圖象,改為先作出[0,π]內的圖象,再進行圖象的平移,得到整個定義域內函數的圖象,讓學生觀察思考.最后由學生來判斷究竟選用哪個區間段內的函數圖象既簡單又能完全體現正切函數的性質,讓學生通過分析得到先作區間(-,)的圖象為好.這時條件成熟,教師引導學生來作正切函數的圖象,如圖2.

根據正切函數的周期性,把圖2向左、右擴展,得到正切函數y=tanx,xR,x≠+kπ(kZ)的圖象,我們稱正切曲線,如圖3.

   

2                   3

    問題,教師引導學生觀察正切曲線,點撥學生討論思考,只需確定哪些點或線就能畫出函數y=tanx,x(,)的簡圖.學生可看出有三個點很關鍵:(,-1),(0,0),(,1),還有兩條豎線.因此,畫正切函數簡圖的方法就是:先描三點(,-1),(0,0),(,1),再畫兩條平行線x=,x=,然后連線.教師要讓學生動手畫一畫,這對今后解題很有幫助.

討論結果:.

正切線是AT.

.

,“三點兩線.

提出問題

    請同學們認真觀察正切函數的圖象特征,由數及形從正切函數的圖象討論它的性質.

    設問:每個區間都是增函數,我們可以說正切函數在整個定義域內是增函數嗎?請舉一個例子.

    活動:問題,從圖中可以看出,正切曲線是被相互平行的直線x=+kπ,kZ所隔開的無窮多支曲線組成的.教師引導學生進一步思考,這點反應了它的哪一性質——定義域;并且函數圖象在每個區間都無限靠近這些直線,我們可以將這些直線稱之為正切函數的什么線——漸近線;從y軸方向看,上下無限延伸,得到它的哪一性質——值域為R;每隔π個單位,對應的函數值相等,得到它的哪一性質——周期π;在每個區間圖象都是上升趨勢,得到它的哪一性質——單調性,單調增區間是(+kπ,+kπ),kZ,沒有減區間.它的圖象是關于原點對稱的,得到是哪一性質——奇函數.通過圖象我們還能發現是中心對稱,對稱中心是(,0),kZ.

    問題,正切函數在每個區間上都是增函數,但我們不可以說正切函數在整個定義域內是增函數.如在區間(0,π)上就沒有單調性.

討論結果:.

.

應用示例

1 比較大小.

(1)tan138°tan143°(2)tan()tan().

    活動:利用三角函數的單調性比較兩個同名三角函數值的大小,可以先利用誘導公式將已知角化為同一單調區間內的角,然后再比較大小.教師可放手讓學生自己去探究完成,由學生類比正弦、余弦函數值的大小比較,學生不難解決,主要是訓練學生鞏固本節所學的基礎知識,加強類比思想的運用.

:(1)y=tanx90°上為增函數,

138°<143°,tan138°

(2)tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan,

tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan.

0<<<,

y=tanx(0, )上是增函數,

tan.-tan>-tan,

tan()>tan().

    點評:不要求學生強記正切函數的性質,只要記住正切函數的圖象或正切線即可.

2 用圖象求函數y=的定義域.

    活動:如圖4,本例的目的是讓學生熟悉運用正切曲線來解題.不足之處在于本例可以通過三角函數線來解決,教師在引導學生探究活動中,也應以兩種方法提出解決方案,但要有側重點,應體現函數圖象應用的重要性.

    

4                 5

:tanx-≥0,tanx≥,

利用圖4,所求定義域為[kπ+,kπ+)(kZ).

點評:先在一個周期內得出x的取值范圍,然后再加周期即可,亦可利用單位圓求解,如圖5.本節的重點是正切線,但在今后解題時,學生哪種熟練就用哪種.

變式訓練

  根據正切函數的圖象,寫出使下列不等式成立的x的集合.

  (1)1+tanx≥0;(2)tanx+30.

  :(1)tanx≥-1,

xkπ-,kπ+),kZ;

(2)xkπ-,kπ-),kZ.

3 求函數y=tan(x+)的定義域、周期和單調區間.

    活動:類比正弦、余弦函數,本例應用的是換元法,由于在研究正弦、余弦函數的類似問題時已經用過換元法,所以這里也就不用再介紹換元法,可以直接將x+作為一個整體.教師可讓學生自己類比地探究,只是提醒學生注意定義域.

:函數的自變量x應滿足x+≠kπ+,kZ,

x≠2k+,kZ.

所以函數的定義域是{x|x≠2k+,kZ}.

由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2),

因此,函數的周期為2.

-+kπ<x+<+kπ,kZ,解得+2k +2k,kZ.

因此,函數的單調遞增區間是(+2k,+2k),kZ.

    點評:y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一樣,這里可引導學生探究y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=.

變式訓練

  求函數y=tan(x+)的定義域,值域,單調區間,周期性.

:x+≠kπ+,kZ可知,定義域為{x|xRx≠kπ+,kZ}.

值域為R.

x+(kπ-,kπ+),kZ可得,x(kπ-,kπ+)上是增函數.

周期是π,也可看作由y=tanx的圖象向左平移個單位得到,其周期仍然是π.

4 tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的順序排列,并說明理由.

    活動:引導學生利用函數y=tanx的單調性探究解題方法.也可利用單位圓中的正切線探究解題方法.但要提醒學生注意本節中活動的結論:正切函數在定義域內的每個區間上都是增函數,但我們不可以說正切函數在整個定義域內是增函數.學生可能的錯解有:

    錯解1:函數y=tanx是增函數,1<2<3<4,tan1

    錯解2:23的終邊在第二象限,tan2,tan3都是負數.14的終邊分別在第一和第三象限,tan1,tan4都是正數.

    函數y=tanx是增函數,2<3,1<4,tan2

    教師可放手讓學生自己探究問題的解法.發現錯解后不要直接糾正,立即給出正確解法,可再讓學生討論分析找出錯的原因.


6

解法一:函數y=tanx在區間(,)上是單調遞增函數,

tan1=tan(π+1),<2<3<4<π+1<,

tan2

解法二:如圖6,1,2,3,4的正切函數線分別是AT1,AT2,AT3,AT4,

tan2

    點評:本例重在讓學生澄清正切函數單調性問題,這屬于學生易錯點.把正切函數y=tanx的單調性簡單地說成在定義域內是增函數是不對的.

知能訓練

課本本節練習1—5.

解答:

1.x軸上任取一點O1,O1為圓心,單位長為半徑作圓,作垂直于x軸的直徑,O1分成左右兩個半圓,過右半圓與x軸的交點作O1的切線,然后從圓心O17條射線把右半圓分成8等份,并與切線相交,得到對應于,,,0,,,等角的正切線.相應地,再把x軸上從這一段分成8等份.把角x的正切線向右平行移動,使它的起點與x軸上的點x重合,再把這些正切線的終點用光滑的曲線連結起來,就得到函數y=tanx,x(,)的圖象.

點評:可類比正弦函數圖象的作法.

2.(1){x|kπ +kπ,kZ};(2){x|x=kπ,kZ};(3){x|+kπZ}.

點評:只需根據正切曲線寫出結果,并不要求解三角方程或三角不等式.

3.x≠+,kZ.

點評:可用換元法.

4.(1);(2)2π.

點評:可根據函數圖象得解,也可直接由函數y=Atan(ωx+φ),xR的周期T=得解.

5.(1)不是.例如0<π,tan0=tanπ=0.

(2)不會.因為對于任何區間A來說,如果A不含有+kπ(kZ)這樣的數,那么函數y=tanx,xA是增函數;如果A至少含有一個+kπ(kZ)這樣的數,那么在直線x=+kπ兩側的圖象都是上升的(隨自變量由小到大).

點評:理解正切函數的單調性.

課堂小結

1.先由學生回顧本節都學到了哪些知識方法,有哪些啟發、收獲.本節課我們是在研究完正、余弦函數的圖象與性質之后,研究的又一個具體的三角函數,與研究正弦、余弦函數的圖象和性質有什么不同?研究正、余弦函數,是由圖象得性質,而這節課我們從正切函數的定義出發得出一些性質,并在此基礎上得到圖象,最后用圖象又驗證了函數的性質.

2.(教師點撥)本節研究的過程是由數及形,又由形及數相結合,也是我們研究函數的基本方法,特別是又運用了類比的方法、數形結合的方法、化歸的方法.請同學們課后思考總結:這種多角度觀察、探究問題的方法對我們今后學習有什么指導意義?

作業

課本習題1.4  A689.

設計感想

1.本教案的設計背景剛剛學完正弦函數、余弦函數的圖象與性質.因此教案的設計主線是始終抓住類比思想這條主線,讓學生在鞏固原有知識的基礎上,通過類比,由學生自己來對新知識進行分析、探究、猜想、證明,使新舊知識點有機地結合在一起,學生對新知識也較易接受.

2.本教案設計的學習程序是:溫故(相關知識準備)→新的學習對象與舊知識的聯系類比探究解決問題應用成果歸納總結進一步的發散思考探索提高.

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